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专题04 三角形全等的判定考点01（★★★）三角形全等的判定 4考点02（★★）直角三角形全等的判定 7考点03（★★）三角形全等的条件探究 9考点04（★★★）“手拉手”全等模型的应用 11考点05（★★★）“一线三等角”全等模型的应用 14考点06（★★★）三角形全等的判定与性质综合 181．证明三角形全等的常用方法：（1）SSS（基本事实）：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．（2）ASA（基本事实）：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．（3）AAS（判定定理）：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．（4）SAS（基本事实）：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．（5）HL：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”．2．判定两个三角形全等的常用思路：（1）已知两边（2）已知一边一角（3）已知两角3．常见的全等三角形（1）平移全等型（2）翻折全等型（3）“一线三等角”模型1．证明三角形全等时，常见的隐含等角有：（1）公共角；（2）对顶角相等；（3）等角加（或减）等角仍得等角；（4）角平分线得两等角；（5）同角（或等角）的余角或补角相等；（6）平行线得同位角、内错角相等；（7）垂直定义得两角相等；（8）一些自然规律：“太阳光线可以看作是平行线”“光的入射角等于反射角”等也是常见的隐含条件．2．寻找解决问题的思路方法可以从求证的结论出发，结合已知条件，逐步寻求解决问题所需要的条件．同时要注意对图形本身隐含条件的挖掘，如对顶角、公共角、公共边等．3．一般三角形全等的判定方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”四种，切记满足“SSA”的两个三角形不一定全等．4．判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以用“HL” “SSS”“SAS”“ASA”“AAS”这五种方法来判定两个直角三角形全等．5．截长补短法证明一条线段的长度等于两条线段的长度的和（差）时，常用截长补短法截长，即在长线段上截取一段，使之等于其中一条短线段长，然后证明剩下的线段长等于另一短线段长；补短，即延长短线段，使延长后的线段长等于长线段的长，再证明延长部分等于另一条短线段的长，不管是截长还是补短，往往都需要连接其他线段，构造全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．6．倍长中线法在三角形中，如果证明一条线段与另一条线段的数量（相等、倍分）关系，且存在中线时，可将该三角形的中线延长一倍，构造全等三角形，利用对应边相等去寻求线段间的数量关系．简记为：见中线，可倍长． 考点中的“★”代表考频，★的数量越多，表示考试频度越高 考点01（★★★）三角形全等的判定1．判定两个三角形全等常用的思路方法如下： 2．“ASA”与“AAS”可相互转化：只要两个三角形的两组角分别相等，则其第三组角也相等，所以两角及一边分别对应相等的两个三角形一定全等． 3．常用技巧 （1）巧用“公共边”构造全等． （2）巧用“截长补短法”构造全等． （3）巧用“倍长中线法”构造全等．【例1】 （2025春 金台区校级期末）已知：在△中，是边的中点，交的延长线于．求证：．【答案】证明见解析．【分析】证△△，即可得出结论．【解答】解：是边的中点，，，，在△和△中，，△△，．【例2】 （2025秋 榆阳区校级月考）如图，在△与△中，且，，求证：△△．【答案】见解析．【分析】根据全等三角形的判断求出，再根据，得到，根据推出两三角形全等即可．【解答】证明：由题可得：，，，，，在△与△中，，△△．【例3】 （2025秋 无锡校级月考）如图，点，在线段上，若，，，求证：△△．【答案】证明：，，，在△和△中，，△△．【分析】直接利用证明△△即可．【解答】证明：，，，在△和△中，，△△．考点02（★★）直角三角形全等的判定1．“HL”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立． （1）当证明两个直角三角形全等时，若不适合应用“HL”，也可考虑用“SAS”“ASA”或“AAS”来证明． （2）在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可，在实际证明中可根据条件灵活选用不同的方法． 2．已知两个直角三角形的一条直角边和一条斜边分别对应直角边和一条斜边分别对应相等，证明两直角三角形全等时，应用的判定定理是“HL”而不是“SSA”．【例4】 （2025春 道县期末）如图．，，求证：．【答案】证明见解答．【分析】由，，，可根据直角三角形全等的判定定理“”证明．【解答】证明：，和都是直角三角形．在和中，，．【例5】 （2024秋 新荣区期末）如图，，分别是的高，且，求证：．【分析】根据高的定义求出，根据全等三角形的判定定理推出即可．【解答】证明：，分别是的高，，在和中，，．【例6】 （2025春 南海区期末）如图，，是上的一点，且，，求证：△△．【分析】由得，进而可依据“”判定△和△全等．【解答】证明：，△和△均为直角三角形，，，在△和△中，，△△．考点03（★★）三角形全等的条件探究此类题目的特点是已知条件不足无法证明两个三角形全等或解决相关的问题时，需要从所给的条件中选择适当的条件添加到已知条件中，从而完成证明过程．【例7】 （2025 上栗县二模）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定△△的是 A． B． C． D．【答案】【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．【解答】解：根据全等三角形的判定定理，已知，且，如果添加，不能根据判断△△，所以选项错误，符合题意；当添加，根据能判断△△，所以选项正确，不符合题意；当添加，根据能判断△△，所以选项正确，不符合题意；当添加，根据能判断△△，所以选项正确，不符合题意；故选：．【例8】 （2025秋 兰山区校级月考）如图，，，需要添加条件： ，就能直接利用“”判定△△．【分析】根据题目中的条件和全等三角形的判定方法，可以得到需要添加的条件．【解答】解：添加条件：，在△和△中，，△△，故答案为：．【例9】 （2024秋 博兴县期末）如图所示，，再添加一个条件 ，就可以使．【分析】欲使，已知，可根据全等三角形判定定理、、添加条件，此题答案不唯一．【解答】解：，为公共角，添加，利用即可使．故答案为：．考点04（★★★）“手拉手”全等模型的应用手拉手模型：是指有公共顶点的两个等腰三角形，顶角相等；因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型．【例10】 （2024秋 泸州校级期末）如图，，，．求证：．【分析】首先根据可得，再加上条件，可证明．【解答】证明：，，即，在和中，．【例11】 （2023秋 华亭市校级期末）（1）如图（1），和均为等腰三角形，且，点、、在同一直线上，连接．则的度数为 90 度，线段与的数量关系为 （用几何语言填写）．（2）如图（2），和均为等边三角形，点、、在同一直线上，连接．若，求与的位置关系．【答案】（1）90；；（2），理由见解答．【分析】（1）根据手拉手模型旋转型全等可得，然后利用全等三角形的性质可得，，再根据已知易得：，从而可得，最后利用三角形内角和定理可得，即可解答；（2）根据手拉手模型旋转型全等可得，然后利用全等三角形的性质可得，从而可得，即可解答．【解答】解：（1）和均为等腰三角形，且，，，，，即，在和中，，，，，，，，，故答案为：90；；（2），理由：和均为等边三角形，，，，，即，在和中，，，，，．【例12】 （2023秋 怀柔区期末）如图，已知，，，且、、三点共线，说明，并给出理由．【答案】证明见解析．【分析】先证明，再根据全等三角形的判定方法证明，则，然后利用三角形外角性质可得结论．【解答】解：，，，在与中，，，，．考点05（★★★）“一线三等角”全等模型的应用“一线三等角”模型是一种常见的全等模型，指的是三个等角的顶点在同一条直线上构成的图形．这三个等角可以是直角，也可以是锐角或钝角．它们既可以在直线的同侧，也可以在直线的两侧． 同侧型一线三等角 异侧型一线三等角【例13】 （2024秋 安定区期末）如图在△中，，，直线经过点，且于点，于点，求证：（1）△△；（2）．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）由，得，而于，于，则，根据等角的余角相等得到，易得△△；（2）由△△得到，，进而完成证明．【解答】（1）证明：，，而于，于，，，．在△和△中，，，，△△；（2）证明：△△，，，．【例14】 （2024秋 福州校级期末）已知：如图，，，是上的一点，，，求证：．【分析】根据直角三角形全等的判定方法，即可判定三角形全等．【解答】证明：，，（已知）（垂直的意义）（平角的意义）（已证）（等式性质）（三角形内角和等于（已证）（等式性质）（同角的余角相等）在和中，，．（全等三角形对应边相等）【例15】 （2023秋 梅里斯区期末）在中，，，直线经过点，且于，于．（1）当直线绕点旋转到图1的位置时，求证：①；②；（2）当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．【分析】（1）直角三角形中斜边对应相等，即可证明全等，再由线段对应相等，得出②中结论；（2）由图可知，与仍全等，但线段的关系已发生改变．【解答】（1）证明：①，，．在和中，，．②，，．．（2）成立，．不成立，此时应有．证明：，，．又，，．，．．考点06（★★★）三角形全等的判定与性质综合1．寻找解决问题的思路方法可以从求证的结论出发，结合已知条件，逐步寻求解决问题所需要的条件．同时要注意对图形本身隐含条件的挖掘，如对顶角、公共角、公共边等． 2．一般三角形全等的判定方法有“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”四种，切记满足“SSA”的两个三角形不一定全等．【例16】 （2025 市中区模拟）如图，在和中，，点是的中点，于点，且．（1）求证：；（2）若，求的长．【答案】（1）见解析过程；（2）6．【分析】（1）由“”可证；（2）由全等三角形的性质可得，，即可求解．【解答】（1）证明：，，，，，在和中，，；（2）解：由（1）得：，，，是的中点，，，，，．【例17】 （2024秋 宁强县期末）如图，，，，点在边上，与交于点．（1）求证：；（2）若，求的度数．【答案】（1）证明见解答过程；（2）．【分析】（1）由“”可证；（2）由全等三角形的性质可得，即可求的度数．【解答】（1）证明：，，在和中，，，（2）由（1）知：，，，．【例18】 （2024秋 郴州期末）如图，，，，点是边的中点．求证：（1）△△；（2）．【分析】（1）根据证明△△即可；（2）根据全等三角形的性质得出，进而利用等腰三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）在△与△中，，△△；（2）由（1）可知，△△，，点是边的中点，．
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